Geometrie der Zahlen. E-book. Formato PDF - 9780259693529

Diese Schrift enthält eine neue Art Anwendungen der Analysis des Unendlichen auf die Zahlentheorie oder, besser gesagt, knüpft ein neues Band zwischen diesen zwei Gebieten. Es werden hier in Bezug auf eine Klasse von vielfachen Integralen einige Ungleichungen entwickelt, die eine fundamentale Bedeutung haben für Fragen über approximative Auflösung von Gleichungen durch rationale Zahlen und für Probleme, welche mit derartigen Fragen zusammenhängen.

Die wesentlichste Anregung verdankt diese Schrift den Briefen von Herrn Hermite an J acobi ,, sur diikerents objets de la theorie des nombres im 40. Bande des Crelleschen Journals Herr Her mite stellt dort den Satz auf, dass man in einer positiven quadratischen Form für die variabeln immer solche ganze Zahlen, die nicht sämtlich Null sind, einsetzen kann, dass der Wverth der Form eine, ganz allein durch die Determinante der Form ausgedrückte Grenze nicht überschreitet, und er erweist diesen Satz als ein mächtiges Hülfsmittel der Zahlentheorie in solchen Fragen, wie sie soeben bezeichnet wurden.

Die ebenfalls im 40. Bande des Grelleschen Journals gedruckte Abhandlung von Dirichlet ,, Uber die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen legte es mir nahe, die jenem Satze von Herrn Hermite entsprechende Eigenschaft des Ellipsoids geometrisch zu deuten, und ich erhielt zunächst für jenen Satz einen neuen und ergiebigeren Beweis, den ich im 107. Bande des Orelleschen Journals auseinander gesetzt habe. In der Folge bemerkte ich, dass die betreffende Eigenschaft des Ellipsoids allein in dem Umstande ihren Grund hat, dass das Ellipsoid eine nirgends concave Fläche mit Mittelpunkt ist, und ich wurde dadurch auf ein arithmetisches Princip von besonderer Fruchtbarkeit aufmerksam; es beruht die vielseitige Verwendung dieses Princips auf der Mannigfaltigkeit von Einzelgesta1ten, die eine nirgends concave Fläche mit Mittelpunkt darzubieten imstande ist.

Dieses Princip ist, mit einigen Zusätzen, im dritten Kapitel der angezeigten Schrift entwickelt. Das erste Kapitel enthält eine ein gehende Begründung der Eigenschaften der nirgends concaven Flächen.